domingo, 29 de noviembre de 2015

ANGULO ENTRE DOS RECTAS


El ángulo entre dos rectas  r  y  s  del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar  r  y  s  en un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser coplanarias )
Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo,  \alpha , y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de  \alpha ,    180 - \alpha

Ejemplo


Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones

r: \left\{ </p> <pre> \begin{array}{ll} 0 = & x - 2y + 3z \\ 0 = & 2x - y + 4 \end{array} </pre> <p>\right.
y
s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t \cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)

La recta  r  viene dada como la intersección de dos planos ( el plano  \pi_1  de ecuación    </p> <pre> 0 = x - 2y + 3z </pre> <p>   y el plano  \pi_2  de ecuación   0 = 2x - y + 4  ).

Un vector director  \mathbf{u}  de la recta  s  es el vector que multiplica al parametro  t  en su ecuación, es decir:
\mathbf{u} = \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)
Podemos obtener un vector director  \mathbf{v}  de la recta  r  multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano  \pi_1  por un vector perpendicular al plano  \pi_2 .
Un vector  \mathbf{n}_1  perpendicular al plano  \pi_1  lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano  \pi_1 :
\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
De la misma forma obtenemos un vector  \mathbf{n}_2  perpendicular al plano  \pi_2 :
\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
El producto vectorial de ambos vectores,  \mathbf{n}_1  y  \mathbf{n}_2  es
\mathbf{v} = \left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)
El ángulo que forman las rectas  r  y  s  es, por tanto
\mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| </p> <pre> \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) \, \right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \, \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 + 3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6} </pre> <p>
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