MATEMATICAS Prof. RAUL HUMBERTO ROSAS (ruzzo): noviembre 2015

domingo, 29 de noviembre de 2015

ROSA DE LO VIENTOS

en esta actividad realizamos una rosa de los vientos en nuestro blog de dibujo, con sus puntos cardinales correspondientes, atraves de una imagen y de las medidas proporcionadas por nustro profesor.

forma general
AX+BY +C=0.
En los problemas mas comunes que se realizan para resolverlos, se pueden encontrar los siguientes casos:
1-cuando te dan un punto que pasan por la linea recta y su pendiente o angulo de inclinación; y se utiliza la siguiente expresión:
Y-Y1=m(X-X1).
2- cuando nos pidan encontrar la ecuación de la recta, que pase por los puntos P1 (X1,Y1) y P2 (x2,Y2).
Y-Y1= Y2-Y2
X-X1 X2-X1.
Cuando dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales.
por lo tanto m1 =m2
cuando dos rectas son perpendiculares, sus pendientes son inversas y con signo contrario:
por lo tanto m2=-1/m1

ejemplo:
Resultado de imagen para la linea recta geometria analitica

Resultado de imagen para la linea recta geometria analitica

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas que se encuentran en el mismo plano son perpendiculares cuando forman cuatro ángulos rectos. En el caso de las semirrectas, la perpendicularidad aparece cuando se desarrollan ángulos rectos, por lo general con idéntico punto de origen.

Los planos y semiplanos, por último, son perpendiculares en los casos en que se forman cuatro ángulos diedros de noventa grados.

Es importante subrayar que a la hora de hablar de perpendiculares nos encontramos con otro término que está relacionado con aquellas y que en ocasiones suelen confundirse. Nos estamos refiriendo a las conocidas como paralelas.

FORMA UN TRIANGULO RECTANGULO

se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.¹ Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras.

ANGULO ENTRE DOS RECTAS

El ángulo entre dos rectas $r$ y $s$ del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar $r$ y $s$ en un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser coplanarias )
Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo, $\alpha$ , y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de $\alpha$ , $180 - \alpha$

Ejemplo

Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones

$r: \left\{ <pre> \begin{array}{ll} 0 = & x - 2y + 3z \\ 0 = & 2x - y + 4 \end{array} </pre> \right.$

$s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t \cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)$

La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos ( el plano $\pi_1$ de ecuación $ <pre> 0 = x - 2y + 3z </pre> $ y el plano $\pi_2$ de ecuación $0 = 2x - y + 4$ ).

Un vector director $\mathbf{u}$ de la recta $s$ es el vector que multiplica al parametro $t$ en su ecuación, es decir:

$\mathbf{u} = \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)$

Podemos obtener un vector director $\mathbf{v}$ de la recta $r$ multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano $\pi_1$ por un vector perpendicular al plano $\pi_2$ .

Un vector $\mathbf{n}_1$ perpendicular al plano $\pi_1$ lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano $\pi_1$ :

$\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)$

De la misma forma obtenemos un vector $\mathbf{n}_2$ perpendicular al plano $\pi_2$ :

$\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)$

El producto vectorial de ambos vectores, $\mathbf{n}_1$ y $\mathbf{n}_2$ es

$\mathbf{v} = \left| <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> \right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)$

El ángulo que forman las rectas $r$ y $s$ es, por tanto

$\mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| <pre> \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) \, \right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \, \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 + 3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6} </pre> $

jueves, 26 de noviembre de 2015

COORDENADAS RECTANGULARES

Es un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos ( x ,y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo el origen, desde los ejes x e y respectivamente. el origen es el punto donde se interceptan los dos ejes coordenados.

martes, 24 de noviembre de 2015

como trazar una parabola con regla y compas

CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA CON REGLA Y COMPÁS:

El siguiente procedimiento es una forma de construir una parábola utilizando regla y compás, sobre la base de que conocemos la directriz “D” y el foco “F” de la parábola.

a) Se traza el eje focal (o simplemente eje) que es la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz “D” y la cruza en el punto “E”.

b) Se determina el vértice “Vde la parábola que es el punto medio del segmento EF

c) Se eligen arbitrariamente algunos puntos sobre el eje focal a la derecha del vértice, sean por ejemplo...5, 4, 3, 2, 1, E, E, E, E. Por cada uno de estos puntos se trazan rectas paralelas a la directriz (cuerdas).

d) Con un compás, haciendo centro en el foco “F” y radios...se trazan arcos de círculo que cortan a cada cuerda (segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola) en los puntos.

e) Uniendo con línea continua los puntos anteriores junto con el vértice, podemos trazar una parte de la parábola ya que es una curva que se extiende indefinidamente y en la hoja de papel solo podemos dibujar parte de ella.

f) Observar cualquier parábola es simétrica respecto a su eje.